10 a la potencia de 0: Regla del exponente cero y la potencia de cero explicadas

Anayoslin Then — Wed, 09 Oct 2024 14:33:21 +0000

Artículo original: 10 to the Power of 0: the Zero Exponent Rule and the Power of Zero Explained

Los exponentes son importantes en el mundo financiero, en notación científica y en los campos de epidemiología y salud pública. Entonces, ¿qué son y cómo funcionan?

Los exponentes se escriben (3^4) o (10^3).

Pero ¿qué sucede cuando elevas un número a la potencia $0$ como este?

10^{0} = ?

En este artículo veremos:

los fundamentos de los exponentes,
que significan y
mostraremos que (10^0) es igual a (1) usando exponentes negativos

Solo necesitas saber multiplicación y división para entender exponentes.

Los exponentes están compuestos por una base y un exponente (la potencia)

Primero, comencemos con las partes de un exponente.

Un exponente tiene dos partes:

la base
el exponente o potencia

Al principio, teníamos un exponente (3^4). El "3" aquí es la base, mientras que el "4" es el exponente o potencia.

Leemos esto como:

Tres elevado a cuatro

Tres a la cuarta potencia

Tres a la potencia de cuatro

En el idioma español tenemos la peculiaridad de leer exponentes elevados a 2 como "al cuadrado" y los elevados a 3 como "al cubo". Por ejemplo:

(3^2) se lee como Tres al cuadrado

(3^3) se lee como Tres al cubo

Generalmente, verás los exponentes expresados como (a^b), donde (a) y (b) pueden ser cualquier par de números.

Los exponentes son una multiplicación abreviada

Ahora que sabemos la terminología de los exponentes, ¿Cómo encontramos el número al que iguala un exponente?

Siguiendo con nuestro exponente (3^2), podemos expresar "Tres al cuadrado" como

3^{2} = 3 \times 3 = 9

El número que está más a la izquierda del exponente es el número que estamos multiplicando una y otra vez. Por eso ves múltiples 3. El número que está más a la derecha del exponente es la cantidad de multiplicaciones que hacemos. Por lo tanto, para nuestro ejemplo, el número 3 (la base) se multiplica dos veces (el exponente).
Algunos ejemplos más de exponentes son:

10^{3} = 10 \times 10 \times 10 = 1000

2^{10} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 1024

En términos más generales, podemos escribir estos exponentes como

b^{n} = \underset{n times}{\underset{⏟}{b \times \dots \times b}}

donde la letra (\color{orange}{\text{b}}) es la base que estamos multiplicando una y otra vez y la letra (\color{blue}{\text{n}}) es la potencia o exponente, que es la cantidad de veces que estamos multiplicando la base por sí misma.

Para estos ejemplos anteriores, los valores de los exponentes son relativamente pequeños. Pero puedes imaginar que si las potencias son muy grandes, se vuelve redundante seguir escribiendo los números una y otra vez usando signos de multiplicación.

En resumen, los exponentes ayudan a que escribir estas largas multiplicaciones sea más eficiente.

Los números elevados a la potencia de cero son iguales a uno

Los ejemplos anteriores muestran potencias mayores que uno, pero ¿qué sucede cuando la potencia es cero?

La respuesta rápida es que cualquier número, (b), elevado a la potencia de cero es igual a uno.

b^{0} = 1

Según nuestras definiciones anteriores, solo necesitamos cero del valor base. Aquí, supongamos que nuestro número base es 10.

10^{0} = ? = 1

Pero, ¿qué significa un número "cero" de números base? ¿Por qué sucede esto?

Podemos resolverlo dividiendo varias veces para disminuir el valor de la potencia hasta llegar a cero.

Empecemos con

10^{3} = 10 \times 10 \times 10 = 1000

Para disminuir las potencias, necesitamos entender brevemente los conceptos de

combinación de exponentes
potencias de uno

En nuestra búsqueda por disminuir el exponente de (10^3) ("diez al cubo") a (10^0) ("diez a la cero potencia"), seguiremos haciendo lo opuesto a multiplicar, que es dividir.

\frac{10^{3}}{10} = \frac{10 \times 10 \times 10}{10} = \frac{1000}{10} = 100

Las partes más a la derecha de esto probablemente tengan sentido. Pero, ¿cómo escribimos exponentes cuando tenemos (10^3) dividido entre (10)?

¿Cómo funcionan las potencias de uno?

Primero, cualquier (\color{orange}{\text{exponente con potencia de uno}}) es igual al (\color{blue}{\text{número base}}).

b^{1} = b

Solo hay un valor que se "multiplica", por lo que obtenemos el mismo valor.

Necesitamos esta definición de "potencia de uno" para poder reescribir la fracción con exponentes.

\frac{10^{3}}{10} = \frac{10^{3}}{10^{1}}

Cómo reducir exponentes a cero

Como recordatorio, una forma de averiguar cómo (10^0) es igual a 1 es seguir dividiendo por 10 hasta que lleguemos a un exponente de cero.

Sabemos por el lado derecho de la ecuación anterior que deberíamos obtener 100 a partir de (\frac{10^3}{10^1}).

\frac{10^{3}}{10} = \frac{10^{3}}{10^{1}} = \frac{10 \times 10 \times 10}{10^{1}}

Antes de terminar de dividir por un 10, podemos multiplicar la parte superior e inferior por 1 como marcadores de posición cuando cancelamos números.

\frac{10 \times 10 \times 10}{10^{1}} = \frac{10 \times 10 \times 10 \times 1}{10^{1} \times 1} = \frac{10 \times 10 \times 10 \times 1}{10^{1} \times 1} = \frac{10 \times 10 \times 1}{1}

De esto, podemos ver que obtenemos 100 nuevamente.

\frac{10 \times 10 \times 1}{1} = \frac{10 \times 10}{1} = \frac{10^{2}}{1} = \frac{100}{1}

Podemos dividir por 10 dos veces más para finalmente llegar a (10^0).

\frac{10^{2} \times 1}{10 \times 10 \times 1} = \frac{10 \times 10 \times 1}{10 \times 10 \times 1} = \frac{10^{0} \times 1}{1} = \frac{1}{1} = 1

Como dividimos por dos dieses, cuando solo teníamos dos dieses en la parte superior de la fracción, tenemos cero dieses en la parte superior. Tener cero dieses prácticamente significa que obtenemos (10^0).

Cómo funcionan los exponentes negativos

Ahora, el (10^0) surge de la nada, así que vamos a explorarlo un poco más usando "exponentes negativos".

En términos más generales, esta división repetitiva por la misma base es lo mismo que multiplicar por "exponentes negativos".

Un exponente negativo es una forma de reescribir la división.

\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}

Un ($\color{green}{\text{exponente negativo}}$) se puede reescribir como una fracción con el denominador (o la parte inferior de una fracción) con el $\color{purple}{\text{mismo exponente pero con una potencia positiva}}$ (el lado izquierdo de esta ecuación).

Ahora, usando exponentes negativos, podemos mostrar la división anterior de otra manera.

\frac{10^{2} \times 1}{10 \times 10 \times 1} = \frac{10^{2}}{10^{2}} = 10^{2} \times \frac{1}{10^{2}} = 10^{2} \times 10^{- 2}

Ten en cuenta que una regla de los exponentes es que cuando multiplicas exponentes con el mismo número base (recuerda que nuestro número base aquí es 10), puedes sumar los exponentes.

10^{2} \times 10^{- 2} = 10^{2 + (- 2)} = 10^{2 - 2} = 10^{0}

Ahora todo junto

Sabiendo esto, podemos combinar cada una de las ecuaciones anteriores para resumir nuestro resultado.

\frac{10^{2}}{10^{2}} = 10^{2} \times 10^{- 2} = 10^{2 + (- 2)} = 10^{2 - 2} = 10^{0} = 1

Sabemos que $\color{purple}{\text{dividir un número por sí mismo}}$ será $\color{orange}{\text{igual a uno}}$. Y hemos demostrado que $\color{purple}{\text{dividir un número por sí mismo}}$ también es igual a $\color{blue}{\text{diez a la potencia cero}}$. Las matemáticas dicen que las cosas que son iguales a la misma cosa también son iguales entre sí.

Por lo tanto, $\color{blue}{\text{diez a la potencia cero}}$ es $\color{orange}{\text{igual a uno}}$. Este ejercicio anterior se generaliza a cualquier número base, por lo que cualquier número a la potencia cero es igual a uno.

En resumen

Los exponentes son formas convenientes de hacer multiplicaciones repetitivas.

Generalmente, los exponentes siguen este patrón a continuación, con un $\color{orange}{\text{número base}}$ que se multiplican una y otra vez un $\color{blue}{\text{"n" número de veces}}$.

b^{n} = \underset{n times}{\underset{⏟}{b \times \dots \times b}}

Usando exponentes negativos, podemos tomar lo que sabemos de la multiplicación y división (como para la fracción 10 sobre 10, $\frac{10}{10}$) para demostrar que $b^0$ es igual a uno para cualquier número $b$ (como $10^0 = 1$).

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