Los exponentes son importantes en el mundo financiero, en notación científica y en los campos de epidemiología y salud pública. Entonces, ¿qué son y cómo funcionan?

Los exponentes se escriben (3^4) o (10^3).

Pero ¿qué sucede cuando elevas un número a la potencia $0$ como este?

En este artículo veremos:

• los fundamentos de los exponentes,
• que significan y
• mostraremos que (10^0) es igual a (1) usando exponentes negativos

Solo necesitas saber multiplicación y división para entender exponentes.

Los exponentes están compuestos por una base y un exponente (la potencia)

Primero, comencemos con las partes de un exponente.

Un exponente tiene dos partes:

1. la base
2. el exponente o potencia

Al principio, teníamos un exponente (3^4). El "3" aquí es la base, mientras que el "4" es el exponente o potencia.

Leemos esto como:

Tres elevado a cuatro

o

Tres a la cuarta potencia

o

Tres a la potencia de cuatro

En el idioma español tenemos la peculiaridad de leer exponentes elevados a 2 como "al cuadrado" y los elevados a 3 como "al cubo". Por ejemplo:

(3^2) se lee como Tres al cuadrado

(3^3) se lee como Tres al cubo

Generalmente, verás los exponentes expresados como (a^b), donde (a) y (b) pueden ser cualquier par de números.

Los exponentes son una multiplicación abreviada

Ahora que sabemos la terminología de los exponentes, ¿Cómo encontramos el número al que iguala un exponente?

Siguiendo con nuestro exponente (3^2), podemos expresar "Tres al cuadrado" como

El número que está más a la izquierda del exponente es el número que estamos multiplicando una y otra vez. Por eso ves múltiples 3. El número que está más a la derecha del exponente es la cantidad de multiplicaciones que hacemos. Por lo tanto, para nuestro ejemplo, el número 3 (la base) se multiplica dos veces (el exponente).
Algunos ejemplos más de exponentes son:

En términos más generales, podemos escribir estos exponentes como

donde la letra (\color{orange}{\text{b}}) es la base que estamos multiplicando una y otra vez y la letra (\color{blue}{\text{n}}) es la potencia o exponente, que es la cantidad de veces que estamos multiplicando la base por sí misma.

Para estos ejemplos anteriores, los valores de los exponentes son relativamente pequeños. Pero puedes imaginar que si las potencias son muy grandes, se vuelve redundante seguir escribiendo los números una y otra vez usando signos de multiplicación.

En resumen, los exponentes ayudan a que escribir estas largas multiplicaciones sea más eficiente.

Los números elevados a la potencia de cero son iguales a uno

Los ejemplos anteriores muestran potencias mayores que uno, pero ¿qué sucede cuando la potencia es cero?

La respuesta rápida es que cualquier número, (b), elevado a la potencia de cero es igual a uno.

Según nuestras definiciones anteriores, solo necesitamos cero del valor base. Aquí, supongamos que nuestro número base es 10.

Pero, ¿qué significa un número "cero" de números base? ¿Por qué sucede esto?

Podemos resolverlo dividiendo varias veces para disminuir el valor de la potencia hasta llegar a cero.

Empecemos con

Para disminuir las potencias, necesitamos entender brevemente los conceptos de

• combinación de exponentes
• potencias de uno

En nuestra búsqueda por disminuir el exponente de (10^3) ("diez al cubo") a (10^0) ("diez a la cero potencia"), seguiremos haciendo lo opuesto a multiplicar, que es dividir.

Las partes más a la derecha de esto probablemente tengan sentido. Pero, ¿cómo escribimos exponentes cuando tenemos (10^3) ​​dividido entre (10)?

¿Cómo funcionan las potencias de uno?

Primero, cualquier (\color{orange}{\text{exponente con potencia de uno}}) es igual al (\color{blue}{\text{número base}}).

Solo hay un valor que se "multiplica", por lo que obtenemos el mismo valor.

Necesitamos esta definición de "potencia de uno" para poder reescribir la fracción con exponentes.

Cómo reducir exponentes a cero

Como recordatorio, una forma de averiguar cómo (10^0) es igual a 1 es seguir dividiendo por 10 hasta que lleguemos a un exponente de cero.

Sabemos por el lado derecho de la ecuación anterior que deberíamos obtener 100 a partir de (\frac{10^3}{10^1}).

Antes de terminar de dividir por un 10, podemos multiplicar la parte superior e inferior por 1 como marcadores de posición cuando cancelamos números.

De esto, podemos ver que obtenemos 100 nuevamente.

Podemos dividir por 10 dos veces más para finalmente llegar a (10^0).

Como dividimos por dos dieses, cuando solo teníamos dos dieses en la parte superior de la fracción, tenemos cero dieses en la parte superior. Tener cero dieses prácticamente significa que obtenemos (10^0).

Cómo funcionan los exponentes negativos

Ahora, el (10^0) surge de la nada, así que vamos a explorarlo un poco más usando "exponentes negativos".

En términos más generales, esta división repetitiva por la misma base es lo mismo que multiplicar por "exponentes negativos".

Un exponente negativo es una forma de reescribir la división.

Un ($\color{green}{\text{exponente negativo}}$) se puede reescribir como una fracción con el denominador (o la parte inferior de una fracción) con el $\color{purple}{\text{mismo exponente pero con una potencia positiva}}$ (el lado izquierdo de esta ecuación).

Ahora, usando exponentes negativos, podemos mostrar la división anterior de otra manera.

Ten en cuenta que una regla de los exponentes es que cuando multiplicas exponentes con el mismo número base (recuerda que nuestro número base aquí es 10), puedes sumar los exponentes.

Ahora todo junto

Sabiendo esto, podemos combinar cada una de las ecuaciones anteriores para resumir nuestro resultado.

Sabemos que $\color{purple}{\text{dividir un número por sí mismo}}$ será $\color{orange}{\text{igual a uno}}$. Y hemos demostrado que $\color{purple}{\text{dividir un número por sí mismo}}$ también es igual a $\color{blue}{\text{diez a la potencia cero}}$. Las matemáticas dicen que las cosas que son iguales a la misma cosa también son iguales entre sí.

Por lo tanto, $\color{blue}{\text{diez a la potencia cero}}$ es $\color{orange}{\text{igual a uno}}$. Este ejercicio anterior se generaliza a cualquier número base, por lo que cualquier número a la potencia cero es igual a uno.

En resumen

Los exponentes son formas convenientes de hacer multiplicaciones repetitivas.

Generalmente, los exponentes siguen este patrón a continuación, con un $\color{orange}{\text{número base}}$ que se multiplican una y otra vez un $\color{blue}{\text{"n" número de veces}}$.

Usando exponentes negativos, podemos tomar lo que sabemos de la multiplicación y división (como para la fracción 10 sobre 10, $\frac{10}{10}$) para demostrar que $b^0$ es igual a uno para cualquier número $b$ (como $10^0 = 1$).

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¡Gracias por leer!

¿Quieres aprender a usar Python para resolver problemas matemáticos? Entonces, el nuevo curso de Fundamentos de Matemáticas de freeCodeCamp, te guiará a través de lo que necesitas saber para prepararte para el curso de Ciencia de Datos.

Este será un repaso de matemáticas algo diferente, en lugar de usar pluma y papel o una calculadora gráfica, aprenderás a escribir código en Python para hacer todos los cálculos por ti.

Yendo un paso a la vez, crearás proyectos que podrás utilizar como tu supercalculadora personal, este curso utiliza Google Colaboratory, que es parecido a Jupyter Notebook, para escribir código en Python en tu Google Drive.

Con la aplicación Google Colab, incluso puedes escribir y correr código desde tu teléfono.

Esto es solo el principio. Hemos estado creando cursos adicionales de matemáticas y Python como parte de la expansión del plan de estudios de Ciencia de Datos.

¿Por qué las matemáticas son útiles para los desarrolladores?

Las matemáticas a nivel de álgebra se relacionarán directamente con los cálculos Estadísticos y de Análisis de Datos que harás en tu trabajo como desarrollador. Lo llamamos "Fundamentos de Matemáticas" porque son las bases que utilizarás al desarrollar otras aplicaciones.

Trabajar con coordenadas te ayudarán a planificar la composición de una escena o una página. Las fórmulas de distancia y cálculo de ángulos te ayudará en el desarrollo de videojuegos (y detección de proximidad).

El incremento y probar valores numéricos en bucles te ayudará a hacer predicciones basadas en valores iniciales y tendencias. Resolver valores desconocidos te ayudará con la planificación financiera y el desarrollo de aplicaciones empresariales.

Ya que cada aspecto del código (o la vida) se puede representar de manera numérica, las matemáticas son el lenguaje para describir relaciones. Encontrarás sabiduría en los números.

Lo que cubriremos en este curso

A lo largo de este curso, aprenderás a escribir código para mostrar la gráfica de casi cualquier función, calcular casi cualquier fórmula y "resolver para x". También construirás diferentes programas que podrás utilizar y modificar en el futuro.

Al final de este curso, también obtendrás conocimientos sólidos de conceptos clave en matemáticas, y tendrás tu propia librería en Colab Notebooks para aplicar estos conceptos.

Aquí hay un ejemplo de uno de los primeros temas:

(La entrada del usuario viene como una cadena. Necesitas convertirla a un entero o flotante antes de hacer cualquier cálculo. El código de abajo, pide dos números enteros como  entrada y los convierte a enteros. Completa el código para que todas las ecuaciones sean verdaderas)

Como muchos de los cursos de freeCodeCamp, este curso tiene cinco partes, cada una de las cinco partes de este curso concluirá un proyecto de certificación que mostrará lo que has aprendido en cada uno de los pasos anteriores.

Aquí hay un ejemplo, cerca del final del curso, para ilustrar como la dificultad en el aprendizaje aún es moderada:

(Los matemáticos descubrieron y usaron el número de Euler, e, antes de que él hubiera nacido, pero comenzaron a usar la letra "e"  para representarlo como tributo a él. Puedes generar e, que es aproximadamente 2.718281828, usando una serie convergente. Corre el siguiente código, después cambia el rango para ver como la serie converge)

Presentación del curso de Matemáticas con Python

En este curso verás los temas matemáticos principales, desde álgebra hasta el eje Y (el eje Z se verá en un curso posterior). Este curso aún está en versión beta, por ello te invito a cursarlo y dejar tu comentario en el foro.

Eventualmente, quiero que las personas discutan sobre matemáticas y creen programas en Python entre ellas, Si ya cuentas con conocimientos básicos de Python, serás capaz tomar este curso.

Aquí hay una descripción de cada parte, con enlaces a Colab notebooks:

Parte 1 – Matemáticas con Python

Primero, aprenderás conceptos básicos de Python para mostrarte como manejar las entradas de datos y aplicar formulas matemáticas. También aprenderás a"resolver para X" con código:

• Colab notebook para la parte 1

Parte 2 – Gráficas

En esta parte te enfocarás en gráficas, aprenderás a trazar puntos, líneas y funciones. También aprenderás a crear tablas y gráficas interactivas:

• Colab notebook para la parte 2

Parte 3 – Matemáticas avanzadas

Ahora profundizarás en polinomios, funciones exponenciales y fórmulas más complejas. Escribirás código para calcular los pagos de una hipoteca, estimar el balance de una cuenta de retiro y hacer diferentes cosas que te serán útiles:

• Colab notebook para la parte 3

Parte 4 – Ángulos y Trigonometría

Esta parte te enseñará a escribir código para crear líneas y ángulos en una gráfica, Utilizarás trigonometría para en encontrar distancias, puntos medios y ángulos. Gráficos animados incluidos:

• Colab notebook para la parte 4

Parte 5 – Secuencias y Sumatorias

Esta sección te guiará a través del cálculo de secuencias y series, después veremos probabilidad. Y en el camino aprenderás los principios de la suma y conteo:

• Colab notebook para la parte 5

Más allá de Jupyter Notebook

¡La última versión de calculadora Texas Instruments TI-84 puede correr código en Python! La  TI-84 es la calculadora ideal para estudiantes en cualquier clase que involucre gráficas y fórmulas. Puedes escribir programas en tu computadora y correrlos en tu calculadora. En este curso desarrollarás las habilidades matemáticas y en Python para poder hacerlo.

Ahora, aún llamamos "versión beta" a este curso, e incluso esto puede ser optimista. Estás obteniendo acceso temprano, ha contenido que seguirá mejorando, por lo que tu retroalimentación es bienvenida.

Mi objetivo es que este sea solo el comienzo, que podamos crear más notebooks, programas y funciones en  Google Colaboratory y compartirlas en esta comunidad.

Por cierto, yo soy Ed y he enseñado por 18 años a estudiantes de preparatoria y por 15 años en universidad, creé este curso y puedes escribirme lo que opinas de él, al correo ed@freecodecamp.org y lo compartiré con el equipo de profesores de  freeCodeCamp.

Gracias por acompañarme en este viaje.

Recientemente aprendí sobre un rompecabezas lógico en línea que aparentemente solo el 2% de las personas pueden resolver.

Hay diversas versiones: Algunas se formulan diferente, tienen nombres distintos o cambian ligeramente los elementos en el enigma. Pero todos son exactamente el mismo problema central.

El propio enigma se utiliza como punto de referencia en la evaluación de problemas de satisfacción de restricciones para algoritmos informáticos.

¿Cuál es el acertijo de Einstein?

Incluso el origen del acertijo es un poco confuso. Es conocido como el acertijo de Einstein porque supuestamente fue creado por Einstein cuando era joven para divertirse. Otros dicen que Einstein lo usaba para seleccionar solo a los estudiantes de doctorado más inteligentes para supervisarlos.

Pero hay afirmaciones en línea de que en realidad fue inventado por el autor de "Alicia en el país de las maravillas", Lewis Carroll.

Es poco probable que haya sido escrito por Einstein, pero eso no importa realmente. Lo importante es que, con una comprensión básica de las tablas de verdad (y un poco de paciencia), también puedes resolverlo.

Cómo resolver el acertijo de Einstein

Voy a darte una lista de pistas, y luego necesitarás responder una pregunta al final de las pistas.

Para ser absolutamente claro, todas las pistas son suficientes para que lo resuelvas. No necesitas ningún consejo adicional, y no hay suposiciones que debas conocer anteriormente.

Hay 5 casas pintadas con cinco colores diferentes.
En cada casa vive una persona de una nacionalidad diferente.
Estos cinco propietarios beben un cierto tipo de bebida, fuman una cierta marca de cigarro y tienen una mascota específica.
Ningún propietario tiene la misma mascota, fuma la misma marca de cigarro o bebe lo mismo.

• El británico vive en la casa roja.
• El sueco tiene perros como mascotas.
• El danés bebe té.
• La casa verde está a la izquierda de la casa blanca.
• La persona que fuma Pall Malls cría pájaros.
• El propietario de la casa amarilla fuma Dunhill.
• El propietario de la casa verde bebe café.
• El hombre que vive en la casa central bebe leche.
• El noruego vive en la primera casa (la más a la izquierda).
• El hombre que fuma Blends vive al lado del que tiene gatos.
• El hombre que tiene caballos vive al lado del que fuma Dunhill.
• El propietario que fuma BlueMaster bebe cerveza.
• El alemán fuma Princes.
• El noruego vive al lado de la casa azul.
• El hombre que fuma Blends tiene un vecino que bebe agua.

Ahora a resolverlo. Dime, ¿quién tiene un pez?

Lo resolví, pero me tomó un par de intentos y algunos garabatos en un papel.

Cómo abordé el problema

Para resolver el problema, lo primero que hice fue intentar agrupar las pistas. Hay dos referencias a la casa verde en las pistas, así que traté de "resolver" y considerar cuanto pude esas dos pistas juntas.

Luego escribí la bebida de la casa central como lo indica una pista, y también escribí la nacionalidad de la casa más a la izquierda.

Básicamente dibujé una cuadrícula muy básica, eliminando y escribiendo las posibilidades basadas inicialmente solo en las pistas. Luego, a medida que completaba más, conseguí más detalles sobre otras casas. No quiero seguir dando pistas en caso de que quieras resolver esto por ti mismo, pero este es un buen punto de partida.

Para facilitarle las cosas a cualquiera que quiera resolverlo o verificar su respuesta, he creado un sitio básico que puedes encontrar aquí: http://einsteins-riddle.com/ (N.T. El sitio está en inglés, la imagen de arriba es una edición traducida).

En este sitio encontrarás una tabla con todas las opciones dispuestas como botones clicables. La cuadrícula tiene inicialmente todas las posibilidades, y a medida que lo analizas más, puedes eliminar posibilidades hasta que al final solo quede una opción.

En la parte inferior hay un botón para verificar (Check Answer) que evaluará lo que quede en tu cuadrícula.

¡Intenta resolverlo y mira cómo te va! Si prefieres hacerlo en papel, adelante.

¡Buena suerte! 😊

Si te resulta difícil y quieres saber cómo resolverlo, puedes encontrar la solución aquí.

¿Por qué las tablas de verdad son útiles?

Disfruto al tratar de resolver estos problemas de tablas de verdad, ya que ayuda a mejorar mi claridad de pensamiento.

A veces, cuando estoy programando y necesito considerar cuidadosamente algunos estados booleanos complejos en mi código (esto no, y eso no O esto y eso (y no esos)), pienso que estos acertijos me ayudan a razonar con más claridad para simplificar mi código.

También me ayudan a planificar técnicamente mi enfoque hacia un problema, desde el principio hasta su solución eventual.

Comienzo con un conjunto básico de requisitos y sin saber cómo encajan en conjunto. Pero a medida que avanzo, puedo pasar por un proceso de recopilación de hechos, verificación de casos límite, verificación/prueba de mi lógica respecto a los requisitos y finalmente enviar mi trabajo. Todos estos pasos se traducen exactamente al desarrollo de software.

Siempre que tengas un conjunto complicado de estados que te confunden, dibuja una tabla de verdad básica. O como prefieras representar el problema. Desglosarlo en problemas más y más pequeños te permitirá resolver casi cualquier cosa.

Conclusión

Espero que este rompecabezas haya sido un desafío mental entretenido y que hayas encontrado la cantidad justa de resolución para disfrutarlo al máximo.

Comparto mis escritos en Twitter, por si disfrutaste este artículo y quieres ver más.

Artículo original de Kealan Parr, How to Solve Einstein's Five House Riddle.

Las personas han estado usando números aleatorios durante milenios, por lo que el concepto no es nuevo. Desde la lotería en la antigua Babilonia hasta las mesas de ruleta en Monte Carlo y los juegos de dados en Las Vegas, el objetivo es dejar el resultado final al azar.

Pero dejando de lado las apuestas, la aleatoriedad tiene muchos usos en la ciencia, las estadísticas, la criptografía y más. Sin embargo, el uso de dados, monedas o medios similares como dispositivo aleatorio tiene sus limitaciones.

Debido a la naturaleza mecánica de estas técnicas, la generación de grandes cantidades de números aleatorios requiere una gran cantidad de tiempo y trabajo. Gracias al ingenio humano tenemos a nuestra disposición herramientas y métodos más poderosos.

Métodos para generar números aleatorios

Números Aleatorios Verdaderos

Consideremos dos métodos principales utilizados para generar números aleatorios. El primer método se basa en un proceso físico y extrae la fuente de aleatoriedad de algún fenómeno físico que se espera que sea aleatorio.

Tal fenómeno ocurre fuera de la computadora. Se mide y ajusta por posibles sesgos debidos al proceso de medición. Los ejemplos incluyen la descomposición radiactiva, el efecto fotoeléctrico, la radiación de fondo cósmica, el ruido atmosférico (que usaremos en este artículo) y más.

Por tanto, los números aleatorios generados basándose en dicha aleatoriedad se denominan números aleatorios "verdaderos".

Consideremos dos métodos principales utilizados para generar números aleatorios. El primer método se basa en un proceso físico y extrae la fuente de aleatoriedad de algún fenómeno físico que se espera que sea aleatorio.

Tal fenómeno ocurre fuera de la computadora. Se mide y ajusta por posibles sesgos debidos al proceso de medición. Los ejemplos incluyen la desintegración radiactiva, el efecto fotoeléctrico, la radiación de fondo cósmica, el ruido atmosférico (que usaremos en este artículo) y más.

Por tanto, los números aleatorios generados basándose en dicha aleatoriedad se denominan números aleatorios "verdaderos".

Técnicamente, la parte del hardware consiste de un dispositivo que convierte la energía de una forma a otra (por ejemplo, radiación en una señal eléctrica), un amplificador y un convertidor de analógico a digital para convertir la salida en un número digital.

¿Qué son los números pseudoaleatorios?

Como alternativa a los números aleatorios "verdaderos", el segundo método para generar números aleatorios involucra algoritmos computacionales que pueden producir resultados aparentemente aleatorios.

¿Por qué aparentemente aleatorio? Porque los resultados finales obtenidos están, de hecho, completamente determinados por un valor inicial, también conocido como valor semilla o clave. Por lo tanto, si sabes el valor de la clave y cómo funciona el algoritmo, podría reproducir estos resultados aparentemente aleatorios.

Los generadores de números aleatorios de este tipo se denominan frecuentemente generadores de números pseudoaleatorios y, como resultado, generan números pseudoaleatorios.

Aunque este tipo de generador normalmente no recopila datos de fuentes de aleatoriedad natural, dicha recopilación de claves puede hacerse posible cuando sea necesario.

Comparemos algunos aspectos de los generadores de números aleatorios verdaderos o TRNG y los generadores de números pseudoaleatorios o PRNG.

Los PRNG son más rápidos que los TRNG. Debido a su naturaleza determinista, son útiles cuando necesita reproducir una secuencia de eventos aleatorios. Esto ayuda mucho en las pruebas de código, por ejemplo.

Por otro lado, los TRNG no son periódicos y funcionan mejor en funciones sensibles a la seguridad, como el cifrado.

Un período es el número de iteraciones por las que pasa un PRNG antes de que comience a repetirse. Por lo tanto, en igualdad de condiciones, un PRNG con un período más largo requeriría más recursos de la computadora para predecir y descifrar.

Ejemplo de algoritmo para el generador de números pseudoaleatorios

Una computadora ejecuta código que se basa en un conjunto de reglas a seguir. Para los PRNG en general, esas reglas giran en torno a lo siguiente:

1. Acepta algún número de entrada inicial, que es una semilla o clave.
2. Aplica esa semilla en una secuencia de operaciones matemáticas para generar el resultado. Ese resultado es el número aleatorio.
3. Usa ese número aleatorio resultante como semilla para la siguiente iteración.
4. Repite el proceso para emular la aleatoriedad.

Ahora vamos a ver un ejemplo.

El generador congruencial lineal

Este generador produce una serie de números pseudoaleatorios. Con una semilla inicial X₀ y parámetros enteros a como multiplicador, b como incremento y m como módulo, el generador se define por la relación lineal: X_n ≡ (aX_n-1 + b)mod m. O usando una sintaxis más amigable con la programación: X_n = (a * X_n-1 + b) % m.

Cada uno de estos miembros debe satisfacer las siguientes condiciones:

• m > 0 (el módulo es positivo),
• 0 < a < m (el multiplicador es positivo pero menor que el módulo),
• 0 ≤ b < m (el incremento no es negativo, pero es menor que el módulo), y
• 0 ≤ X₀ < m (la semilla no es negativa, pero es menor que el módulo).

Vamos a crear una función de JavaScript que tome los valores iniciales como argumentos y devuelva un arreglo de números aleatorios de una longitud dada:

    // x0=semilla; a=multiplicador; b=incremento; m=módulo; n=longitud deseada de el arreglo;
	const generadorAleatorioLineal = (x0, a, b, m, n) => {
        const resultados = []
        for (let i = 0; i < n; i++) {
        	x0 = (a * x0 + b) % m
            resultados.push(x0)
        }
        return resultados
    }
	

El generador congruencial lineal es uno de los algoritmos PRNG más antiguos y conocidos.

En cuanto a los algoritmos generadores de números aleatorios que son ejecutables por computadoras, datan de las décadas de 1940 y 1950 (el método del cuadrado medio y el generador Lehmer, por ejemplo) y continúan escribiéndose hoy (Xoroshiro128+, Squares RNG y más).

Ejemplo de un generador de números aleatorios

Cuando decidí escribir este artículo sobre la incorporación de un generador de números aleatorios en una página web, tenía que tomar una decisión.

Podría haber usado la función Math.random() de JavaScript como base y generar resultados en números pseudoaleatorios como lo hice en artículos anteriores.

Pero este artículo en sí trata sobre la generación de números aleatorios. Así que decidí aprender a recopilar datos basados en la aleatoriedad "verdadera" y compartir mi descubrimiento con ustedes.

El código obtiene datos de una API, cortesía de Random.org. Este recurso en línea tiene una gran cantidad de herramientas útiles y personalizables y viene con una excelente documentación para acompañarlo.

La aleatoriedad proviene del ruido atmosférico. Pude usar funciones asincrónicas. Eso es un gran beneficio en el futuro. La función central se ve así:

// Genera un número aleatorio dentro del intervalo indicado por el usuario
const obtenerAleatorio = async (min, max, base) => {
   		const respuesta = await 	fetch("https://www.random.org/integers/?num=1&min="+min+"
    &max="+max+"&col=1&base="+base+"&format=plain&rnd=new")
          	return respuesta.text() 
   	} 

Los parámetros que toma permiten al usuario personalizar la salida de números aleatorios. Por ejemplo, min y max le permiten establecer límites inferiores y superiores en la salida generada. Y la base determina si la salida se imprime como binario, decimal o hexadecimal.

Nuevamente, elegí esta configuración, pero hay muchas más disponibles en la fuente.

Al hacer clic en el botón Generar, se llama a la función manejarGenerar(). A la vez, invoca la función asíncrona obtenerAleatorio(), gestiona el manejo de errores y genera resultados:

    // Gestión de salida
    const manejarGenerar = () => {
    	handleActive(generateButton)
        const base = binary.checked ? 2 : decimal.checked ? 10 : 16
        if (!minimum.value || !maximum.value) {
            prompter.style.color = 'red' 
        	prompter.textContent = "Ingrese valores mínimos y máximos"
        } else {
        	obtenerAleatorio(minimum.value, maximum.value, base).then((data) => {
        		resultValue.textContent = data
        		prompter.textContent = ""    
        	}).catch((error) => {
        		resultValue.textContent = 'ERROR'
        		prompter.textContent = 'Error de conexión. Incapaz de generar';    
        	})
       		 handleRestart()
        }
        
   }
    

El resto del código se ocupa de la estructura, la apariencia y el estilo de HTML.

El código está listo para ser incrustado y utilizado dentro de esta página web. Lo separé en partes y lo proporcioné con comentarios detallados. Se puede modificar fácilmente. También puede modificar la funcionalidad y los estilos según lo requieran sus necesidades.

Este es el enlace al repositorio de GitHub del código completo: https://github.com/sandroarobeli/random-generator

Introducción

Este artículo tratará acerca del tema estadístico de error cuadrático medio y describirá la relación de este método con la regresión lineal, la regresión más básica en el contexto del aprendizaje automático (machine learning).

El ejemplo consiste de puntos en el eje cartesiano. Definiremos una función matemática que nos dará la línea recta que pasa en medio de todos los puntos del eje cartesiano.

De esta manera, aprenderemos la conexión entre estos dos métodos y cómo los resultados de su conexión aparecen juntos.

Explicación General

Contexto

El error cuadrático(MSE) mide el promedio de los errores elevados al cuadrado.

El hecho que el MSE es casi siempre estrictamente positivo(y no zero) es debido a la aleatoriedad o a que el estimador carece de información con la que pueda producir una mejor estimación.

La estructura del artículo

• Obtén una idea del ECM y su visualización gráfica.
• La parte matemática que contiene manipulaciones algebraicas y una derivación de una función de dos variables encontrando su mínimo.
• Esta sección es para quienes desean comprender el proceso de cómo obtenemos las fórmulas matemáticas finales. Puedes saltarte esta parte si tu interés no es este.
• Una explicación del rol de cada variable en la fórmula.
• Ejemplos.

Ideas Generales:

Supongamos que tenemos siete puntos, nuestro objetivo es encontrar la línea que minimiza la suma de las distancias elevadas al cuadrado de estos puntos.

Tratemos de comprender esto.

Tomemos un ejemplo y tracemos una línea en medio de siete puntos aleatorios.

Podrías estar preguntándote ¿Qué significa esta gráfica?

• Los puntos púrpuras son los siete puntos aleatorios en la gráfica. Cada punto posee una coordenada X y una coordenada Y.
• La línea azul es nuestra línea de predicción. Es una línea que pasa a través de todos los puntos y que se ajusta a ellos de la mejor manera posible, de este modo esta línea contiene todos los puntos.
• La línea roja entre cada punto púrpura y la línea de predicción son los errores. Cada error es la distancia desde el punto hasta su punto estimado.

Puede que ahora recuerdes esta ecuación en tus días de escuela, y=Mx+B, donde M es la pendiente de la recta, y  B es su intercepto.

Queremos encontrar la pendiente M y él interceptó B  que  minimiza el error cuadrático.

Definamos la ecuación matemática que nos proporcionará el error cuadrático medio para todos nuestros puntos.

Analicemos el significado de esta ecuación.

• Sigma representa la suma de la secuencia de números desde i=1 hasta n. Imaginemos esto cómo un arreglo de puntos, donde en el proceso se pasa a través de todos los puntos, desde el primero (i=1) hasta el último (i=n).
• Por cada punto, tomamos la coordinada y del punto, y la coordenada  y’. Sustraemos la coordenada y, de nuestra coordenada  y’ (es decir los valores estimados) y calculamos el cuadrado del resultado.
• La tercera parte es tomar la suma de todos los valores  (y-y’)², es decir, la diferencia entre los valores reales y estimados elevados al cuadrado.
• Finalmente procedemos a dividir esas diferencias al cuadrado por n y así obtenemos la media.

Nuestro objetivo es minimizar esta media. Lo que nos proveerá con la mejor línea que pasa a través de los puntos.

Del concepto a las ecuaciones matemáticas

Esta parte es para las personas que quieren comprender cómo obtenemos las ecuaciones matemáticas.

Cómo vimos anteriormente, tenemos la ecuación y=mx+b.

Tomemos cada punto en la gráfica, y luego haremos nuestro propio cálculo (y-y’)².
¿Pero cómo calculamos y? No tenemos qué porque es parte de los datos.

Recordemos la definición algebraica, de (y-y’)². A partir de aquí, obtenemos el desglose de la ecuación del error cuadrático medio (MSE):

Reescribimos la ecuación y simplificamos.

Comenzamos operando los paréntesis en la ecuación. Nótese la distinción anaranjada y morado de las ecuaciones.

Ahora, apliquemos otra manipulación. Juntaremos cada parte de la ecuación. Tomaremos todas la y, así como todas las (-2ymx) etc. En otras palabras, agrupación de términos.

En este punto, podemos tomar la media de todos los valores elevados al cuadrado de y, xy, x, x².

Definamos para cada uno, un nuevo carácter que representará la media de todos los valores al cuadrado.

Veamos un ejemplo, tomemos todos los valores y, y luego dividamos por n (n representa el número de elementos), entonces obtendremos la media, y la llamaremos Y promedio.

Si multiplicamos ambos lados de la ecuación por n, obtendremos:

Esto nos llevará a la siguiente ecuación:

Tenemos una ecuación de tres dimensiones. Queremos encontrar los valores M y B(recordar la ecuación de la recta) que minimizan la función.

Debido a que es un problema de minimización, entramos al mundo del cálculo diferencial, la forma de minimizar una ecuación consiste en igualar a cero y luego derivar. Sin embargo, en este caso tenemos que tomar una derivada parcial. Tomamos la derivada parcial con respecto a M y la derivada parcial con respecto a B de nuestro MSE.

Ya que estamos buscando un punto mínimo, tomaremos las derivadas parciales, igualándolas a cero.

Tomemos las dos ecuaciones que acabamos de obtener, separando la variable b de ambas, y luego sustrayendo la primera ecuación de la segunda.

Pasamos a sustraer la primera ecuación de la segunda.

Nos deshacemos de los denominadores en la ecuación.

Y aquí estamos, esta es la ecuación para encontrar M, tomamos esta para escribir la ecuación B.

Ecuaciones para la pendiente y él interceptó y.

Estas serán las ecuaciones matemáticas que nos ayudarán a encontrar la pendiente y él interceptó.

Hablemos un poco más acerca de estas ecuaciones:

Ejemplos

Muchas Gracias a Khan Academy por los ejemplos.

Ejemplo #1

Tomemos 3 puntos, (1,2), (2,1), (4,3).

Encontremos M y B para la ecuación y=mx+b.

Luego de haber calculado las partes relevantes de nuestras ecuaciones pendientes e intercepto, sustituyamos algunos valores en las ecuaciones  veamos cómo obtenemos una pendiente y un intercepto y.

Tomemos estos resultados y definámoslos cómo una sola ecuación y=mx+b.

Ahora dibujemos la línea y veamos cómo esta pasa a través de los puntos a la vez que minimiza sus distancias elevadas al cuadrado.

Ejemplo #2

Tomemos 4 puntos, (-2,-3), (-1,-1), (1,2), (4,3).

Vamos a encontrar M y B para la ecuación y = mx + b.

Lo mismo que antes, sustituyamos estos valores en las ecuaciones para encontrar  M y B.

Definiendo estos resultados cómo una sola ecuación.

Ahora graficamos la línea y vemos cómo esta pasa a través de los puntos a la vez que minimiza sus distancias elevadas al cuadrado.

En Conclusión

Cómo puedes ver, la idea es simple. Solo es necesario comprender las partes principales y cómo trabajar con ellas.

Puedes trabajar con las fórmulas para encontrar la línea en otra gráfica, y así efectuar un cálculo simple, obteniendo los resultados para la pendiente y él interceptó.

Este artículo ha hecho más énfasis en el error cuadrático medio y  los aspectos matemáticos de la línea de regresión que minimiza el MSE. No tanto así en el aspecto intuitivo y de aplicación práctica que se encuentran fuera del alcance del artículo.

No obstante, la regresión lineal suele ser de las primeras lecciones en aprendizaje automático e inteligencia artificial, por lo tanto es muy importante conocer su aspecto matemático.

Muchas Gracias por tu atención.

La regla de Simpson es la siguiente:

En ella,

• f(x) es llamado el integrand
• a = es el límite inferior de integración
• b = es el límite superior de integración

La Regla de 1/3 de Simpson

Como se muestra en el diagrama anterior, el integrando f(x) es aproximado por un polinomio de segundo orden, el interpolante cuadrático es P(x).

Sigue la aproximación,

Reemplazando (b-a)/2 como h, obtenemos,

Como puedes ver, hay un factor de 1/3 en la expresión anterior. Por eso, se llama la Regla de 1/3 de Simpson.

Si una función es altamente oscilatorio o carece de derivados en ciertos puntos, entonces la regla anterior puede no producir resultados precisos.

Una forma común de manejar esto es usando el enfoque de la regla compuesta de Simpson. Para ello, dividir [a,b] en pequeños subintervalos, y luego aplicar la regla de Simpson a cada subintervalo. Luego, sumar los resultados de cada cálculo para producir una aproximación sobre la integral completa.

Si el intervalo [a,b] se divide en n subintervalo, y n es un número par, la regla compuesta de Simpson se calcula con la siguiente fórmula:

donde x_j = a+jh para j = 0,1,…,n-1,n con h=(b-a)/n ; en particular, x₀ = a y x_n = b.

Ejemplo en C++:

Para aproximar el valor de la integral dada abajo donde n = 8:

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

float f(float x)
{
	return x*sin(x);	//Define la función f(x)
}

float simpson(float a, float b, int n)
{
	float h, x[n+1], sum = 0;
	int j;
	h = (b-a)/n;
	
	x[0] = a;
	
	for(j=1; j<=n; j++)
	{
		x[j] = a + h*j;
	}
	
	for(j=1; j<=n/2; j++)
	{
		sum += f(x[2*j - 2]) + 4*f(x[2*j - 1]) + f(x[2*j]);
	}
	
	return sum*h/3;
}

int main()
{
	float a,b,n;
	a = 1;		//Ingresa el límite inferior a
	b = 4;		//Ingresa el límite superior b
	n = 8;		//Ingresa la longitud del intervalo n
	if (n%2 == 0)
		cout<<simpson(a,b,n)<<endl;
	else
		cout<<"n debería ser un número par";
	return 0;
}

La Regla de 3/8 de Simpson

La regla de 3/8 de Simpson es similar a la regla de 1/3 de Simpson, con la única diferencia de que, para la regla de 3/8, el interpolante es un polinomio cúbico. Aunque la regla de 3/8 utiliza un valor de función más, es aproximadamente dos veces más precisa que la regla de 1/3.

La regla de 3/8 de Simpson establece:

Reemplazando (b-a)/3 como h, obtenemos,

La regla de 3/8 de Simpson para n intervalos (n debería ser un múltiplo de 3):

donde x_j = a+jh para j = 0,1,…,n-1,n con h=(b-a)/n; en particular, x₀ = a y x_n = b.

Traducido del artículo - Simpson's Rule: the Formula and How it Works

Math es uno de los objetos globales u objeto incorporado estándar de JavaScript y puede ser utilizado en cualquier lugar donde puedas usar JavaScript. Contiene constantes útiles como π y el número de Euler, además de funciones como floor(), round() y ceil().

En este artículo, veremos ejemplos de muchas de esas funciones. Pero primero, aprendamos más sobre el objeto Math.

Ejemplo

El siguiente ejemplo muestra como usar el objeto Math para escribir una función que calcula el área de un circulo:

function calcularAreaDeCirculo(radio) {
  return Math.PI * Math.pow(radio, 2);
}

calcularAreaDeCirculo(1); // 3.141592653589793

Math Max

Math.max() es una función que devuelve el valor mayor de una lista de valores numéricos pasados como parámetros. Si se pasa un valor no numérico como parámetro, Math.max() devolverá NaN.

Un arreglo de valores numéricos puede ser pasado como un solo parámetro a Math.max() usando spread (...) o apply. Cualquiera de estos métodos puede, sin embargo, fallar cuando la cantidad de números en el arreglo es muy grande.

Sintaxis

Math.max(valor1, valor2, valor3, ...);

Parámetros

Números, o una cantidad limitada de números en un arreglo.

Valor de retorno

El mayor valor numérico entre los números dados, o NaN si alguno de los valores no es numérico.

Ejemplos

Números como parámetros

Math.max(4, 13, 27, 0, -5); // devuelve 27

Parámetro inválido

Math.max(4, 13, 27, 'ocho', -5); // devuelve NaN

Arreglo como parámetro, usando Spread (…)

let numeros = [4, 13, 27, 0, -5];

Math.max(...numeros); // devuelve 27

Arreglo como parámetro, usando .apply()

let numeros = [4, 13, 27, 0, -5];

Math.max.apply(null, numeros); // devuelve 27

Math Min

La función Math.min() devuelve el menor valor de cero o más números.

Le puedes pasar cualquier cantidad de argumentos.

Math.min(7, 2, 9, -6);
// devuelve -6

Math PI

Math.PI es una propiedad estática del objeto Math y corresponde al número Pi, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia de un círculo respecto a su diámetro. El número Pi es aproximadamente 3.14149 y se representa comúnmente con la letra griega π.

Ejemplo

Math.PI \\ 3.141592653589793

Más información:

MDN

Math Pow

Math.pow() devuelve el valor de un número elevado a otro número.

Sintaxis

Math.pow(base, exponente), donde base es el número base y exponente es el número al que se eleva la base.

pow() es un método estático de Math, por lo tanto, siempre es llamado como Math.pow() en vez de un método en otro objeto.

Ejemplos

Math.pow(5, 2); // 25
Math.pow(7, 4); // 2401
Math.pow(9, 0.5); // 3
Math.pow(-8, 2); // 64
Math.pow(-4, 3); // -64

Math Sqrt

La función Math.sqrt() devuelve la raíz cuadrada de un número.

Si se ingresa un número negativo, te devuelve NaN.

sqrt() es un método estático de Math, por lo tanto, siempre es llamado como Math.sqrt() en vez de un método en otro objeto.

Sintaxis

Math.sqrt(x), donde x es un número.

Ejemplos

Math.sqrt(25); // 5
Math.sqrt(169); // 13
Math.sqrt(3); // 1.732050807568
Math.sqrt(1); // 1
Math.sqrt(-5); // NaN

Math Trunc

Math.trunc() es un método del objeto estándar Math que devuelve sólo la parte entera de un número dado, simplemente quitando las unidades fraccionarias. Esto resulta en hacer un redondeo de la parte decimal a 0. Cualquier valor ingresado que no sea un número devolverá como resultado NaN.

Cuidado: este método es una característica de ECMAScript 2015 (ES6) y no tiene soporte en los navegadores antiguos.

Ejemplos

Math.trunc(0.1)   //  0
Math.trunc(1.3)   //  1
Math.trunc(-0.9)  // -0
Math.trunc(-1.5)  // -1
Math.trunc('foo') // NaN

Math Ceil

Math.ceil() es un método del objeto estándar Math que redondea un número dado hacia el siguiente número entero. Toma nota que para los números negativos, esto significa que el número será redondeado "hacia 0" en vez de el número de mayor valor absoluto (ve los ejemplos a continuación).

Ejemplos

Math.ceil(0.1)  //  1
Math.ceil(1.3)  //  2
Math.ceil(-0.9) // -0
Math.ceil(-1.5) // -1

Math Floor

Math.floor() es un método del objeto estándar Math que redondea un número dado hacia el número entero anterior. Toma nota que para los números negativos esto significa que el número será redondeado "lejos de 0" en vez de el número de menor valor absoluto debido a que Math.floor() devuelve el número entero que sea menor o igual al número dado.

Ejemplos

Math.floor(0.9)  //  0
Math.floor(1.3)  //  1
Math.floor(0.5)  //  0
Math.floor(-0.9) // -1
Math.floor(-1.3) // -2

Aplicando math.floor: Cómo crear una Máquina Tragamonedas de JavaScript

Para este ejercicio, tenemos que generar tres números al azar usando una fórmula específica y no la fórmula general. Math.floor(Math.random() * (3 - 1 + 1)) + 1;

puestoUno = Math.floor(Math.random() * (3 - 1 + 1)) + 1;
puestoDos = Math.floor(Math.random() * (3 - 1 + 1)) + 1;
puestoTres = Math.floor(Math.random() * (3 - 1 + 1)) + 1;

Otro ejemplo: Encontrando el residuo

5 % 2 = 1 porque
Math.floor(5 / 2) = 2 (Cociente)
2 * 2 = 4
5 - 4 = 1 (Residuo)

Uso

En matemáticas, se puede verificar si un número es par o impar viendo el residuo de dividir dicho número entre 2.

17 % 2 = 1 (17 es impar)
48 % 2 = 0 (48 es par)

Nota No confundas que el operador Resto % no funciona bien con números negativos.

Más artículos relacionados con Math:

• Convertir un reloj de 12 horas a uno de 24 horas
• Regla de Simpson

Traducido del artículo JavaScript Math Functions Explained

Construí esta lista para mi propio uso como programador y quiero compartirla contigo.

Antes de revisar la lista me gustaría mostrarte cómo generarlos utilizando un lenguaje de programación.

Como crear una lista de números primos utilizando Criba de Eratóstenes

Aquí el código en Javascript genera una lista arbitraria de números primos.

function getPrimes(max) {
    var sieve = [];
    var i;
    var j;
    var primes = [];
    for (i = 2; i <= max; ++i) {
        if (!sieve[i]) {
            primes.push(i);
            for (j = i << 1; j <= max; j += i) {
                sieve[j] = true;
            }
        }
    }
    return primes;
}
getPrimes(1000);

Lista Completa de números primos entre 0 y 20000

Aquí tenemos la lista completa de números primos. Pueden observar que he omitido intencionalmente las comas, por lo que los programadores no tendrán que eliminarlas antes de copiarlas y pegarlas en su código.

2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
157
163
167
173
179
181
191
193
197
199
211
223
227
229
233
239
241
251
257
263
269
271
277
281
283
293
307
311
313
317
331
337
347
349
353
359
367
373
379
383
389
397
401
409
419
421
431
433
439
443
449
457
461
463
467
479
487
491
499
503
509
521
523
541
547
557
563
569
571
577
587
593
599
601
607
613
617
619
631
641
643
647
653
659
661
673
677
683
691
701
709
719
727
733
739
743
751
757
761
769
773
787
797
809
811
821
823
827
829
839
853
857
859
863
877
881
883
887
907
911
919
929
937
941
947
953
967
971
977
983
991
997
1009
1013
1019
1021
1031
1033
1039
1049
1051
1061
1063
1069
1087
1091
1093
1097
1103
1109
1117
1123
1129
1151
1153
1163
1171
1181
1187
1193
1201
1213
1217
1223
1229
1231
1237
1249
1259
1277
1279
1283
1289
1291
1297
1301
1303
1307
1319
1321
1327
1361
1367
1373
1381
1399
1409
1423
1427
1429
1433
1439
1447
1451
1453
1459
1471
1481
1483
1487
1489
1493
1499
1511
1523
1531
1543
1549
1553
1559
1567
1571
1579
1583
1597
1601
1607
1609
1613
1619
1621
1627
1637
1657
1663
1667
1669
1693
1697
1699
1709
1721
1723
1733
1741
1747
1753
1759
1777
1783
1787
1789
1801
1811
1823
1831
1847
1861
1867
1871
1873
1877
1879
1889
1901
1907
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1987
1993
1997
1999
2003
2011
2017
2027
2029
2039
2053
2063
2069
2081
2083
2087
2089
2099
2111
2113
2129
2131
2137
2141
2143
2153
2161
2179
2203
2207
2213
2221
2237
2239
2243
2251
2267
2269
2273
2281
2287
2293
2297
2309
2311
2333
2339
2341
2347
2351
2357
2371
2377
2381
2383
2389
2393
2399
2411
2417
2423
2437
2441
2447
2459
2467
2473
2477
2503
2521
2531
2539
2543
2549
2551
2557
2579
2591
2593
2609
2617
2621
2633
2647
2657
2659
2663
2671
2677
2683
2687
2689
2693
2699
2707
2711
2713
2719
2729
2731
2741
2749
2753
2767
2777
2789
2791
2797
2801
2803
2819
2833
2837
2843
2851
2857
2861
2879
2887
2897
2903
2909
2917
2927
2939
2953
2957
2963
2969
2971
2999
3001
3011
3019
3023
3037
3041
3049
3061
3067
3079
3083
3089
3109
3119
3121
3137
3163
3167
3169
3181
3187
3191
3203
3209
3217
3221
3229
3251
3253
3257
3259
3271
3299
3301
3307
3313
3319
3323
3329
3331
3343
3347
3359
3361
3371
3373
3389
3391
3407
3413
3433
3449
3457
3461
3463
3467
3469
3491
3499
3511
3517
3527
3529
3533
3539
3541
3547
3557
3559
3571
3581
3583
3593
3607
3613
3617
3623
3631
3637
3643
3659
3671
3673
3677
3691
3697
3701
3709
3719
3727
3733
3739
3761
3767
3769
3779
3793
3797
3803
3821
3823
3833
3847
3851
3853
3863
3877
3881
3889
3907
3911
3917
3919
3923
3929
3931
3943
3947
3967
3989
4001
4003
4007
4013
4019
4021
4027
4049
4051
4057
4073
4079
4091
4093
4099
4111
4127
4129
4133
4139
4153
4157
4159
4177
4201
4211
4217
4219
4229
4231
4241
4243
4253
4259
4261
4271
4273
4283
4289
4297
4327
4337
4339
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4357
4363
4373
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4397
4409

1223
1229
1231
1237
1249
1259
1277
1279
1283
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1301
1303
1307
1319
1321
1327
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1367
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1409
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1427
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1433
1439
1447
1451
1453
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1483
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1511
1523
1531
1543
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1571
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1597
1601
1607
1609
1613
1619
1621
1627
1637
1657
1663
1667
1669
1693
1697
1699
1709
1721
1723
1733
1741
1747
1753
1759
1777
1783
1787
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1811
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1861
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1913
1931
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Traducido del artículo - Prime Numbers List – A Chart of All Primes Up to 20,000 de Quincy Larson