Artigo original: 10 to the Power of 0: the Zero Exponent Rule and the Power of Zero Explained
Expoentes são importantes no mundo financeiro, na notação científica e nos campos da epidemiologia e saúde pública. Então, o que eles são e como funcionam?
Expoentes são escritos como (3^2) ou (10^3).
O que acontece, porém, quando você eleva um número à potência (0) assim?
$$10^0 = \text{?}$$
Este artigo vai abordar
- os fundamentos dos expoentes,
- o que eles significam, e
- mostrará que (10^0) é igual a (1) usando expoentes negativos
Tudo o que estou assumindo é que você tem um entendimento de multiplicação e divisão.
Expoentes são compostos de uma base e um expoente (ou potência)
Primeiro, vamos começar com as partes de um expoente.
Há duas partes em um expoente:
- a base
- o expoente ou potência
No início, tínhamos um expoente (3^2). O "3" aqui é a base, enquanto o "2" é o expoente ou potência.
Lemos isso como
Três é elevado à potência de dois.
ou
Três elevado a dois.
Além disso, geralmente, expoentes são escritos como (a^b), onde (a) e (b) podem ser qualquer par de números.
Expoentes são multiplicação para os "preguiçosos"
Agora que entendemos um pouco sobre como falar sobre expoentes, como descobrimos a que número ele equivale?
Usando nosso exemplo acima, podemos escrever e expandir "três elevado a dois" como
$$3^2 = 3 \times 3 = 9$$
O número mais à esquerda no expoente é o número que estamos multiplicando repetidamente. É por isso que você vê vários "3". O número mais à direita no expoente é o número de multiplicações que fazemos. Então, em nosso exemplo, o número 3 (a base) é multiplicado duas vezes (o expoente).
Alguns outros exemplos de expoentes são:
$$10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$$
$$2^{10} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 1024$$
Além disso, em geral, podemos escrever esses expoentes assim:
$$\textcolor{orange}{b}^\textcolor{blue}{n} = \underbrace{\textcolor{orange}{b} \times \dots \times \textcolor{orange}{b}}_{\textcolor{blue}{n} \textrm{ vezes}}$$
onde, a letra b é a base que estamos multiplicando repetidamente e n é a potência ou expoente, que é o número de vezes que estamos multiplicando a base por ela mesma.
Para os exemplos acima, os valores dos expoentes são relativamente pequenos. Você pode imaginar, porém, que se as potências forem muito grandes, torna-se redundante continuar escrevendo os números repetidamente usando sinais de multiplicação.
Em suma, os expoentes ajudam a tornar a escrita dessas longas multiplicações mais eficiente.
Números elevados a zero são iguais a um
Os exemplos anteriores mostram potências maiores que um, mas o que acontece quando é zero?
A resposta rápida é que qualquer número, (b), elevado a zero é igual a um.
$$b^0 = 1$$
Com base em nossas definições anteriores, só precisamos de zero do valor base. Aqui, vamos ter nosso número base como 10.
$$10^0 = ? = 1$$
O que significa, porém, ter um "zero" número de números base? Por que isso acontece?
Podemos descobrir isso dividindo várias vezes para diminuir o valor da potência até chegarmos a zero.
Vamos começar com
$$10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$$
Para diminuir as potências, precisamos entender brevemente os conceitos de combinação de expoentes e de potências de um.
Em nossa busca para diminuir o expoente de (10^3) ("dez à terceira potência") para (10^0) ("dez à potência de zero"), continuaremos fazendo o contrário de multiplicar, que é dividir.
$$\frac{10^3}{10} = \frac{10 \times 10 \times 10}{10} = \frac{1000}{10} = 100$$
As partes mais à direita desta equação provavelmente fazem sentido. Como escrevemos, no entanto, os expoentes quando temos (10^3) dividido por (10)?
Como funcionam as potências de um
Primeiro, qualquer expoente com potência de um é igual ao número base.
$$\textcolor{orange}{b^1} = \textcolor{blue}{b}$$
Há somente um valor sendo "multiplicado", então obtemos o valor em si.
Precisamos dessa definição de "potência de um" para que possamos reescrever a fração com expoentes.
$$\frac{10^3}{10} = \frac{10^3}{10^1}$$
Como diminuir expoentes para zero
Como um lembrete, uma maneira de descobrir como (10^0) é igual a 1 é continuar dividindo por 10 até chegarmos a um expoente de zero.
Sabemos pelo lado direito da equação acima que devemos obter 100 de (\frac{10^3}{10^1}).
$$\frac{10^3}{10} = \frac{10^3}{10^1} = \frac{10 \times 10 \times 10}{10^1}$$
Antes de terminarmos de dividir por um 10, podemos multiplicar o topo e o fundo por 1 como marcadores ao cancelar números.
$$\frac{10 \times 10 \times 10}{10^1} = \frac{10 \times 10 \times 10 \times 1}{10^1 \times 1} = \frac{10 \times 10 \times \cancel{10} \times 1}{\cancel{10^1} \times 1} = \frac{10 \times 10 \times 1}{1}$$
$$\frac{10 \times 10 \times 1}{1} = \frac{10 \times 10}{1} = \frac{10^2}{1} = \frac{100}{1}$$
Podemos dividir por 10 mais duas vezes para finalmente chegar a (10^0).
$$\frac{10^2 \times 1}{10 \times 10 \times 1} = \frac{\cancel{10} \times \cancel{10} \times 1}{\cancel{10} \times \cancel{10} \times 1} = \frac{10^0 \times 1}{1} = \frac{1}{1} = 1$$
Por termos dividido por dois 10 quando tínhamos apenas dois 10 no topo da fração, temos zero dezenas no topo. Ter zero dezenas basicamente significa que obtivemos (10^0).
Como funcionam os expoentes negativos
Agora, o (10^0) meio que surge do nada, então vamos explorar isso um pouco mais usando "expoentes negativos".
Em geral, essa divisão repetitiva pela mesma base é o mesmo que multiplicar por "expoentes negativos".
Um expoente negativo é uma maneira de reescrever a divisão.
$$\frac{1}{\textcolor{purple}{b^n}}= \textcolor{green}{b^{-n}}$$
Um expoente negativo pode ser reescrito como uma fração com o denominador (ou a parte inferior de uma fração) com o mesmo expoente, mas com uma potência positiva (o lado esquerdo desta equação).
Agora, usando expoentes negativos, podemos mostrar a divisão anterior de outra maneira.
$$\frac{10^2 \times 1}{10 \times 10 \times 1} = \frac{10^2}{10^2} = 10^2 \times \frac{1}{10^2} = 10^2 \times 10^{-2}$$
Observação: uma regra dos expoentes é que, ao multiplicar expoentes com o mesmo número base (lembre-se, nosso número base aqui é 10), você pode somar os expoentes.
$$10^2 \times 10^{-2} = 10^{2 + (-2)} = 10^{2 - 2} = 10^{0}$$
Juntando tudo
Sabendo disso, podemos combinar cada uma dessas equações acima para resumir nosso resultado.
$$\textcolor{purple}{\frac{10^2}{10^2}} = 10^2 \times 10^{-2} = 10^{2 + (-2)} = 10^{2 - 2} = \textcolor{blue}{10^{0}} \textcolor{orange}{= 1}$$
Sabemos que dividir um número por ele mesmo vai ser igual a um. Mostramos que dividir um número por ele mesmo também é igual a dez elevado a zero. A matemática diz que as coisas que são iguais à mesma coisa também são iguais entre si.
Assim, dez elevado a zero é igual a um. O exercício acima se generaliza para qualquer número base, então qualquer número elevado a zero é igual a um.
Em resumo
Expoentes são maneiras convenientes de fazer multiplicação repetitiva.
Geralmente, os expoentes seguem o padrão abaixo, com algum número base sendo multiplicado repetidamente um número n de vezes.
$$\textcolor{orange}{b}^\textcolor{blue}{n} = \underbrace{\textcolor{orange}{b} \times \dots \times \textcolor{orange}{b}}_{\textcolor{blue}{n} \textrm{ vezes}}$$
Usando expoentes negativos, podemos pegar o que sabemos de multiplicação e divisão (como para a fração 10 sobre 10,(\frac{10}{10})) para mostrar que (b^0) é igual a um para qualquer número (b) (como (10^0 = 1)).
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Agradecemos pela leitura!